Esercizi di Fisica

ESERCIZIO N.59 PIANO INCLINATO CON ATTRITO E VELOCITA' INIZIALE: CALCOLO SPAZIO PERCORSO, TEMPO IMPIEGATO, ENERGIE POTENZIALI E CINETICHE

ing. Francesco Buffa32

Dato il piano inclinato di figura, dove la massa m viene lanciata verso il basso con velocità iniziale vo, determinare:
1. con quale accelerazione a scende
2. quanto tempo t impiega a fermarsi
3. quanto spazio s percorre prima di fermarsi
4. l'energia potenziale e cinetica U1, K1 alla partenza e U2, K2 all’arrivo
5. il lavoro L della forza d’attrito  dinamino Fd
6. il bilancio energetico del sistema

Dati:             μd = 0,62;      m = 230 Kg;      α = 28°;      h1 = 23 m;       vo = 3,5 m/s.

SOLUZIONE

Esprimiamo la forza peso in Newton:

P = m • g = 230 • 9,81 = 2.256 N


Costruiamo quindi il parallelogramma delle forze per determinare i valori delle forze implicate nel calcolo.

Il corpo accelera verso il basso se la componente tangenziale della forza peso è maggiore della forza di attrito dinamico, altrimenti l’accelerazione è verso l’alto ed il corpo rallenta sino a fermarsi.

Essendo i due angoli α e α’ uguali per costruzione, risulta:222

PN = P cos α = 2.256 • cos 28° = 2.256 • 0,883 = 1.992 N
PT = P sen α = 2.256 • sen 28° = 2.256 • 0,47 = 1.059 N

Determiniamo adesso il valore della forza di attrito dinamico:

Fd = μd • PN = 0,62 • 1.992 = 1.235 N

Risulta, come si vede dai calcoli:                Fd > PT

Quindi il corpo scende, per effetto della velocità iniziale vo imposta, ma rallenta fino a fermarsi.

La forza totale FTOT applicata al corpo che scende è però la differenza fra la forza  d’attrito dinamico Fche si oppone al moto e forza  trainante PT, quindi l’accelerazione effettiva del corpo si può determinare dalla formula:

FTOT = F PT = m • a

Da cui:


a = (Fd – PT) / m = (1.235 – 1.059) / 230 = 0,765 m/s2

Questa accelerazione a è rivolta verso l’alto, come la forza d’attrito, quindi rallenta la corsa.
La velocità in ogni istante in questo moto uniformemente decelerato è data da:

v = vo – a t

poniamo in questa formula v = 0 per trovare il tempo impiegato a fermarsi:

0 = vo – a t            ―›          t = vo /a = 3,5 / 0,765 = 4,58 s

Adesso troviamo lo spazio percorso s in questo tempo t:

s = (1/2) a t2 = 0,5 • 0,765 • 4,582 = 8,02 m

l’energia cinetica alla partenza è immediata:

K1 = (1/2) m vo2 = 0,5 • 230 • 3,52 = 1.400 J

All’arrivo, poiché la massa è ferma è: K2 = 0
L’energia potenziale alla partenza, U1 rispetto alla base del piano inclinato è:

U1 = m g h1 = 230 • 9,81 • 23 = 51.900 J

Inoltre, poiché è:                             Δh = s • sen α = 8,02 • 0,47 = 3,77 m

All’arrivo è:

U2 = m g h2 = m g (h1 – Δh) = 230 • 9,81 (23 – 3,77) = 43.400 J

Il lavoro delle forze d’attrito è:                            L = Fd • s = 1.235 • 8,02 = 9.900 J

L’energia totale della massa alla partenza è quindi:

K1 + U1 = 1.400 + 51.900 = 53.300 J

L’energia totale della massa all’arrivo è:

K2 + U2 = 0 + 43.400 = 43.400 J

Quindi la massa m alla partenza possedeva 53.300 J, mentre all’arrivo ne possiede solo 43.300 J perché 9.900 J si sono trasformati in lavoro di attrito.
Infatti:

43.400 + 9.900 = 53.300

 

Continua:

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