Carta di Smith

Esempio di adattamento di una linea con la Carta di Smith

Sia data una linea con impedenza di carico ZL, da adattare con uno stub chiuso all'estremità, posto a distanza d1 dal carico e di lunghezza d2 secondo lo schema di figura:

Dati: R0 = 50 Ω; ZL= 60 + j 70 Ω; f = 27 MHz; v= 2x108m/sec

 

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Per prima cosa bisogna normalizzare l'impedenza di carico ZL, dividendola per la resistenza caratteristica della linea R0:

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A questo punto bisogna individuare il punto rappresentativo dell’impedenza di carico ZL all’interno della carta di SMITH, all’incrocio fra la circonferenza con parte reale +1,2 e la circonferenza con parte immaginaria +1,4.
Ricordiamo che i valori reali sono scritti sull’asse orizzontale, mentre quelli immaginari sono rappresentati lungo la circonferenza esterna, i positivi sopra, i negativi, sotto.
Il punto rappresentativo dell’impedenza di carico ZL è indicato nella figura di sopra.
Si traccia un cerchio (rosso) con centro nell’origine e passante per il punto ZL, il cui raggio rappresenterà il coefficiente di riflessione ρ in modulo e fase al variare del punto sulla linea supposta senza perdite.

Il modulo del coefficiente di riflessione ρ si legge proiettando il raggio del cerchio sulla scala orizzontale, che c’è sotto la carta, indicato con le due linee in blu, ottenendo il valore, indicato con il cerchietto blu, di 0,3.
La fase, anch’essa indicata con un cerchietto blu, si legge sul bordo esterno della carta, sul prolungamento del raggio che passa per ZL e risulta quasi 50°.
La circonferenza, passante per il punto rappresentativo del carico ZL normalizzato, rappresenta tutti i punti della linea a partire dal carico, con i corrispondenti valori delle parti reali ed immaginarie dell’impedenza, che si possono ottenere spostandosi dal carico verso il generatore, ruotando in verso orario.

Vi sono due punti dove questa circonferenza interseca l’asse reale e corrispondono ai massimi, quelli a destra, ed ai minimi, a sinistra, dell’onda stazionaria, dove l’impedenza è puramente reale, che si alternano ogni λ/4.
In corrispondenza del massimo, a destra, si legge anche il valore del ROS che è di 3,4, indicato da un cerchietto nero.
Anche sulla scala in basso si può leggere lo stesso valore indicato con un altro cerchietto nero.
La distanza tra il carico ed il primo massimo dell’onda stazionaria, misurata, al solito in valori di λ, si trova ruotando in verso orario, dal punto rappresentativo dell’impedenza normalizzata ZL, fino al primo incontro con la parte destra dell’asse reale che, è indicata in figura con due cerchietti rossi:

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Ribaltando rispetto al centro del diagramma circolare di Smith, il punto rappresentativo di ZL si ottiene il punto rappresentativo dell’ammettenza di carico YL:

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Per controllo, con la calcolatrice si ha:

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Come si vede, esattamente uguale.  Questo è il punto di partenza per l’adattamento della linea.
Adesso agiamo con le ammettenze perché lo stub si dovrà inserire in parallelo e pertanto si dovranno sommare le ammettenze e non le impedenze.
Si ruota in verso orario, vale a dire verso il generatore lungo il cerchio rosso che è il cerchio a pari modulo di coefficiente di riflessione ρ, fino ad incontrare il cerchio a r=1, cioè il luogo dei punti in cui la parte reale dell’ammettenza è uguale ad uno.
Si osservi che ci sono due intersezioni fra questi due cerchi, per ogni rotazione completa attorno al centro della carta di SMITH.

Quindi, per ogni avanzamento di λ/2, a partire dal carico verso il generatore, ci sono due punti in cui l’ammettenza della linea mostra la stessa parte reale dell’ammettenza caratteristica.
Si sceglie il primo di questi punti incontrati girando in verso orario, indicato in figura con il punto A, e lì si inserirà lo stub in parallelo che dovrà annullare la parte immaginaria dell’ammettenza di linea.
Questa parte immaginaria di 1,3, è indicata con un cerchietto verde sul bordo esterno della carta, seguendo la circonferenza passante per A.
In questo modo, l’onda incidente dal generatore, arrivando in questo punto, e trovando un valore d’impedenza di linea uguale a quella caratteristica, non darà luogo ad onda riflessa e così la linea sarà adattata.

La distanza d1 tra il carico, rappresentato dal punto  YL ed il punto di inserzione dello stub, rappresentato dal punto A, si legge sul bordo esterno della carta come somma di due parti, in quanto le lunghezze, misurate in λ, hanno origine all’estremo sinistro del diametro orizzontale ed ivi anche finiscono.
Si deve dunque eseguire la somma di due parti:

•La prima va dal punto sulla circonferenza esterna, corrispondente ad  YL dove si legge 0,432λ, fino all’estremo sinistro del diametro orizzontale, dove si legge 0,0λ.
•La seconda, dall’estremo orizzontale sinistro, dove si legge anche 0,0 λ, fino al prolungamento del punto A, dove si legge 0,171λ.

Quindi risulta:

d1= (0,5 λ - 0,432 λ) + (0,171 λ - 0,0 λ) = 0,068 λ + 0,171 λ = 0,239 λ

La determinazione della lunghezza d2 dello stub, da inserire a distanza d1 dal carico, si esegue pure con l’uso della carta di SMITH come segue.
Si deve creare uno stub, chiuso ad un’estremità, che presenti all’ingresso una suscettanza di valore -1,3, uguale ed opposto a quella letta sulla carta.
Lo stub in corto circuito, è anch’esso una linea a radiofrequenza, ma che ha come carico un corto circuito, cioè un’impedenza di valore zero, e quindi un’ammettenza di valore infinito.

Si parte allora dal punto più a destra dell’asse orizzontale delle parti reali della carta, che rappresenta appunto il valore infinito, e si segue il cerchio esterno della carta, ruotando in verso orario, quindi verso il generatore, fino a incontrare il punto, indicato sul bordo esterno con un cerchietto verde, corrispondente al valore di –1,3.
Si ricorda che nel semipiano inferiore i valori immaginari sono negativi ed in quello superiore sono positivi.
La lunghezza d2 dello stub, espressa in unità λ, è rappresentata dall’angolo compreso fra il punto rappresentativo del corto circuito ed il punto ad ammettenza –1,3.
Questa lunghezza si ottiene dalla differenza fra i valori letti nelle due posizioni corrispondenti al corto circuito, cioè, al carico, ed al punto di ingresso dello stub, indicate dai due cerchietti marrone e corrisponde al valore:

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I valori di lunghezze fin qui ottenuti sono espressi in quote parti di λ, per trasportarli in metri bisogna calcolare λ:

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Conosciuto il valore di λ, si può risalire ai valori in cm di d1 e di d2:

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Continua:

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